Analysis 1 und 2 mit Aufgaben lernen


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Analysis 1 und 2 mit Aufgaben lernen

Die Analysis beschäftigt sich mit reelen Zahlen. Es werden deren Stetigkeit, Grenzwerte, Folgen, Reihen, Differenzierbarkeit und Integration untersucht. Die Analysis wird meist in den höheren Klassen des Gymnasiums, bzw. Abschlussklassen unterrichtet. Auch im technischen oder naturwissenschaftlichen Studium spielt die Analysis eine große Rolle. Auf dieser Seite finden sich zahlreiche Aufgaben zur Analysis.

Analysis 1 Grundlagen
In Analysis 1 werden die vor allem die Themen Zahlen, Konvergenz und Funktionen behandelt. Natürlich gehören auch Logikaufgaben zur Analysis, welche beispielsweise eine Fallunterscheidung beinhalten. Weitere Unterteilungsmöglichkeit der Analysis 1 Vorlesungen:
- Logik und Induktion
- Binomial Koeffizient und Absolutbetrag
- Ir-/Rationalität und Supremum
- Folgen und Konvergenz
- Quantoren, Beschränktheit
- Lim Sup, Grenzwerte
- Reihen, Konvergenz
- Umordnung, Abzählbarkeit
- Potenzreihen
- Stetigkeit
- Differenzierbarkeit

Beispielaufgabe aus der Analysis 1 mit Lösung
Aufgabe: Untersuchen Sie f : R → R, x → |x| auf Stetigkeit.
Lösung: a) Die Betragsfunktion kann geschrieben werden durch


Damit ist sie zumindest für x 6= 0 stetig, da x und −x auf ganz R stetig sind. Betrachte nun die Stetigkeit bei x = 0:


Damit ist f links- und rechtsstetig in 0 und somit stetig in 0.

Analysis 2 Grundlagen
In der Analysis 2 werden vor allen Dingen höhere Dimensionen betrachtet, die viele bereits aus dem Geometrieunterricht kennen. Dabei geht es in der Analysis aber nicht nur um Ebenen (zwei Dimensionen) und Räume (drei Dimensionen). In Aufgabenstellungen aus der Physik, Ingenieurwissenschaften oder Wirtschaftswissenschaften arbeitet man mit n-dimensionalen reellen Räumen, welche für die Lösung von Problemen von großer Bedeutung sind. Im folgenden wird eine mögliche Unterteilung der Analysis 2 Vorlesungen veranschaulicht:
- Metrische Räume
- Kurven und Vektorfelder: Differentialgleichungen als geometrisches Problem
- Differentialgleichungen erster Ordnung
- Lineare Differentialgleichungen
- Differentialgleichungssysteme erster Ordnung
- Differentiation von Funktionen mehrerer Variablen
- Differentiation von Abbildungen

Beispielaufgabe aus der Analysis 2 mit Lösung
Aufgabe: Wir betrachten das Gleichungssystem


Bestimmen Sie eine Lösung (x0,y0,z0) des Gleichungssystems. Zeigen Sie, dass sich das System nahe (x0,y0,z0) nach x,y als Funktionen von z auflösen lässt.

Lösung: Offenbar ist (x0,y0,z0) = (0, 0, 0) eine Lösung des Gleichungssystems. Wir setzen


Dann ist f stetig differenzierbar, f(x0,y0,z0) = 0 und


invertierbar. Nach dem Satz über implizite Funktionen gibt es somit Umgebungen U ⊂ R von z0 = 0 und V ⊂ R² von (x0,y0) = (0, 0) und eine stetig differenzierbare Funktion g : U → V mit f(z,g(z)) = 0 fur alle z ∈ U.

Noch mehr Beispielaufgaben finden sich oben in unserem Test. Einfach auf “Test starten drücken”. Die richtige Lösung wird nach jeder Antwort präsentiert.

Buchempfehlungen zur Analysis 1 und 2
Bei Schülern mit Mathe-LK und Studenten mit Mathematik-Erstsemester ist das folgende Mathematik-Buch besonders beliebt. Es ist von und für Studenten, Tutoren und Übungsleitern geschrieben worden, sodass besonders auf häufige Anfängerfehler der Analysis eingegangen wird.
Tutorium Analysis 1 und Lineare Algebra 1: Mathematik von Studenten für Studenten erklärt und kommentiert

Weniger anspruchsvoll und speziell für Personen geschrieben, die sich so garnicht für Mathematik begeistern können ist das folgende Buch:

Analysis für Dummies (Fur Dummies)

FrageAnzahl
Der Planet Og wird von zwei verschiedenen Rassen bewohnt - dem grünen und dem roten Volk. Desweiteren sind die Leute, die auf der nördlichen Halbkugel geboren wurden von denen auf der südlichen Halbkugel sehr verschieden. Das Komische an dem Planeten ist, dass die grünen Nordler immer die Wahrheit sagen und die roten Nordler immer lügen, während die grünen Südler lügen und die roten Südler die Wahrheit sagen. Zwei Bewohner von Og, A und B, hatten nicht dieselbe Hautfarbe und stammten von verschiedenen Halbkugeln. Sie machten folgende Aussagen: A: 'B ist aus dem Norden.', B: 'A ist rot.' Welche Farbe haben A und B, und woher stammen sie?

Häufigkeit der Antworten:
A ist roter Südler und B ist grüner Nordler (52.05%) richtig, A ist grüner Südler und B ist roter Nordler (21.84%), A ist roter Nordler und B ist grüner Südler (16.57%), A ist grüner Nordler und B ist roter Südler (9.54%)
2390
Betrachten Sie die Aussage 'In keiner Stadt der Oberpfalz hat kein Erwachsener kein Auto.' Zu welcher der folgenden Aussagen ist diese Aussage äquivalent?

Häufigkeit der Antworten:
Es gibt keinen Erwachsenen in der Oberpfalz, der ein Auto hat. (14.52%), In jeder Stadt der Oberpfalz hat kein Erwachsener ein Auto. (14.01%), In jeder Stadt der Oberpfalz gibt es mindestens einen Erwachsenen, der mindestens ein Auto hat. (51.85%) richtig, In jeder Stadt der Oberpfalz haben alle Erwachsenen kein Auto. (19.62%)
2706
Lösen Sie die Gleichung auf.
Lösen Sie die Gleichung auf.
Häufigkeit der Antworten:
1 (59.03%) richtig, 0,5 (14.91%), 2 (18.84%), 3 (7.22%)
637
Der Planet Og wird von zwei verschiedenen Rassen bewohnt - dem grünen und dem roten Volk. Desweiteren sind die Leute, die auf der nördlichen Halbkugel geboren wurden von denen auf der südlichen Halbkugel sehr verschieden. Das Komische an dem Planeten ist, dass die grünen Nordler immer die Wahrheit sagen und die roten Nordler immer lügen, während die grünen Südler lügen und die roten Südler die Wahrheit sagen. Ein weiteres Duo zwei verschiedenfarbige Bewohner von Og, A und B, machten die folgenden Aussagen: A: ’B ist ein Nordler.’ B: ’Wir sind beide Nordler.’ Was sind A und B?

Häufigkeit der Antworten:
A ist roter Nordler und B ist grüner Nordler (29.65%), A ist roter Südler und B ist grüner Südler (23.77%), A ist grüner Nordler und B ist roter Nordler (24.99%), A ist roter Nordler und B ist grüner Südler (21.59%) richtig
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Berechnen Sie die reellen Zahlen x und y, die das folgende Gleichungssystem erfüllen: x + 2y = 3 und 4x + 5y = 6

Häufigkeit der Antworten:
x = -1 y = 2 (36.24%) richtig, x = 2 y = -1 (23.11%), x = 1 y = 1 (23.06%), x = -2 y = 6 (17.59%)
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Ein Verkehrsschild gibt am Fuß einer Bergstraße eine Steigung von 25% an. Hannah sagt: Wenn man auf dieser Straße 20 m zurücklegt, so gewinnt man dabei 5 m an Höhe. Ist Hannahs Behauptung richtig?

Häufigkeit der Antworten:
Nein, die Steigung müsste in diesem Fall ca. 14% betragen. (19.71%), Nein, die Steigung müsste in diesem Fall ca. 20% betragen. (26.09%), Nein, die Steigung müsste in diesem Fall ca. 30% betragen. (15.42%), Ja, die Aussage ist richtig. (38.79%) richtig
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